Peter Scholze chce přestavět velkou část moderní matematiky, počínaje jedním z jejích základních kamenů. Nyní získal potvrzení pro důkaz v srdci svého pátrání z nepravděpodobného zdroje: počítače.
Ačkoli většina matematiků pochybuje o tom, že stroje v dohledné době nahradí kreativní aspekty jejich profese, někteří uznávají, že technologie bude mít v jejich výzkumu stále důležitější roli – a tento konkrétní čin by mohl být bodem obratu směrem k jeho přijetí.
Scholze, teoretik čísel, představil ambiciózní plán – který vytvořil spolu se svým spolupracovníkem Dustinem Clausenem z Kodaňské univerzity – v sérii přednášek v roce 2019 na univerzitě v Bonnu v Německu, kde sídlí. . Oba výzkumníci to nazvali „kondenzovaná matematika“ a říkají, že slibuje nové poznatky a souvislosti mezi obory od geometrie po teorii čísel.
Jiní výzkumníci věnují pozornost: Scholze je považován za jednu z nejjasnějších hvězd matematiky a má zkušenosti se zaváděním revolučních konceptů. Emily Riehl, matematička z Johns Hopkins University v Baltimoru v Marylandu, říká, že pokud bude Scholze a Clausenova vize realizována, způsob, jakým se matematika vyučuje postgraduální studenty za 50 let, by mohl být úplně jiný než dnes. "Existuje mnoho oblastí matematiky, o kterých si myslím, že v budoucnu budou ovlivněny jeho nápady," říká.
Až dosud spočívala velká část této vize na technickém důkazu tak složitém, že ani Scholze a Clausen si nemohli být jisti, zda je správná. Ale začátkem tohoto měsíce Scholze oznámil, že projekt na kontrolu jádra důkazu pomocí specializovaného počítačového softwaru byl úspěšný.
Počítačová podpora
Matematici již dlouho používají počítače k provádění numerických výpočtů nebo manipulaci se složitými vzorci. V některých případech prokázaly významné výsledky tím, že přiměly počítače vykonávat obrovské množství opakující se práce – nejznámější je důkaz ze 70. let 20. století, že každou mapu lze vybarvit pouze čtyřmi různými barvami, aniž by dvě sousední země zaplnily stejnou barvou. barva.
Zázračný zázrak teorie čísel mezi vítězi nejžádanější ceny v matematice
Ale systémy známé jako důkazní asistenti jdou hlouběji. Uživatel zadává příkazy do systému, aby jej naučil definici matematického pojmu — objektu — založeného na jednodušších objektech, o kterých stroj již ví. Tvrzení může také odkazovat pouze na známé objekty a asistent důkazu na základě svých současných znalostí odpoví, zda je skutečnost „zjevně“ pravdivá nebo nepravdivá. Pokud odpověď není zřejmá, musí uživatel zadat další podrobnosti. Důkazní asistenti tak nutí uživatele rigorózním způsobem rozložit logiku svých argumentů a vyplňují jednodušší kroky, které lidští matematici vědomě či nevědomě přeskočili.
Jakmile výzkumníci odvedou tvrdou práci při překladu sady matematických pojmů do asistenta důkazu, program vygeneruje knihovnu počítačového kódu, na které mohou stavět další výzkumníci a použít ji k definování matematických objektů vyšší úrovně. Asistenti důkazů tak mohou pomoci ověřovat matematické důkazy, které by jinak bylo pro člověka časově náročné a obtížné, možná dokonce prakticky nemožné.
Asistenti důkazu mají své fanoušky již dlouho, ale toto je poprvé, kdy mají hlavní roli na špičce oboru, říká Kevin Buzzard, matematik z Imperial College London, který byl součástí spolupráce, která kontrolovala Výsledek Scholze a Clausena. "Velkou zbývající otázkou bylo: dokážou zvládnout složitou matematiku?" říká Káně. "Ukázali jsme, že mohou."
A vše se odehrálo mnohem rychleji, než si kdokoli představoval. Scholze v prosinci 2020 předložil svou výzvu odborníkům na důkazy a chopila se jí skupina dobrovolníků vedená Johanem Commelinem, matematikem na univerzitě ve Freiburgu v Německu. června – o necelých šest měsíců později – Scholze zveřejnil na Buzzardově blogu, že hlavní část experimentu uspěla. "Považuji za naprosto šílené, že interaktivní důkazní asistenti jsou nyní na úrovni, že ve velmi rozumném časovém rozpětí mohou formálně ověřit obtížný původní výzkum," napsal Scholze.
Historie umělé inteligence vytváří pro lidi těžké nové problémy, které je třeba vyřešit
Klíčovým bodem kondenzované matematiky je podle Scholze a Clausena předefinovat koncept topologie, jednoho ze základních kamenů moderní matematiky. Mnoho objektů, které matematici studují, má topologii – typ struktury, která určuje, které části objektu jsou blízko u sebe a které ne. Topologie poskytuje představu o tvaru, ale takový, který je poddajnější než ty ze známé geometrie na školní úrovni: v topologii je přípustná jakákoli transformace, která neroztrhne objekt na kusy. Například jakýkoli trojúhelník je topologicky ekvivalentní jakémukoli jinému trojúhelníku – nebo dokonce kružnici – ale ne přímce.
Topologie hraje klíčovou roli nejen v geometrii, ale také ve funkcionální analýze, studiu funkcí. Funkce obvykle „žijí“ v prostorech s nekonečným počtem dimenzí (jako jsou vlnové funkce, které jsou základem kvantové mechaniky). Je to také důležité pro číselné systémy zvané p-adická čísla, které mají exotickou, „fraktální“ topologii.
Velké sjednocení
Kolem roku 2018 si Scholze a Clausen začali uvědomovat, že konvenční přístup ke konceptu topologie vede k nekompatibilitě mezi těmito třemi matematickými vesmíry – geometrií, funkční analýzou a p-adickými čísly – ale že alternativní základy by mohly překlenout tyto mezery. Zdá se, že mnoho výsledků v každé z těchto oblastí má analogie v ostatních, i když se zjevně zabývají zcela odlišnými pojmy. Ale jakmile je topologie definována „správným“ způsobem, jsou analogie mezi teoriemi odhaleny jako příklady stejné „kondenzované matematiky“, navrhli dva výzkumníci. „Je to nějaký druh velkého sjednocení“ těchto tří oblastí, říká Clausen.
Scholze a Clausen říkají, že již našli jednodušší, „kondenzované“ důkazy řady hlubokých geometrických faktů a že nyní mohou dokázat věty, které byly dříve neznámé. Zatím je nezveřejnili.
Mělo to však jeden háček: aby ukázali, že geometrie do tohoto obrázku zapadá, museli Scholze a Clausen dokázat jednu vysoce technickou větu o množině obyčejných reálných čísel, která má topologii přímky. "Je to jako základní teorém, který umožňuje reálným číslům vstoupit do tohoto nového rámce," vysvětluje Commelin.
Clausen vzpomíná, jak Scholze neúnavně pracoval na důkazu, dokud nebyl dokončen ‚sílou vůle‘, přičemž v procesu produkoval mnoho originálních nápadů. „Byl to ten nejúžasnější matematický výkon, jaký jsem kdy viděl,“ vzpomíná Clausen. Ale argument byl tak složitý, že se sám Scholze obával, že by mohla existovat nějaká jemná mezera, která by celý podnik zneplatnila. "Vypadalo to přesvědčivě, ale bylo to prostě příliš nové," říká Clausen.
S žádostí o pomoc při kontrole této práce se Scholze obrátil na Buzzarda, kolegu teoretika čísel, který je odborníkem na Lean, softwarový balík pro podporu důkazů. Lean byl původně vytvořen počítačovým vědcem z Microsoft Research v Redmondu, Washington, za účelem přísné kontroly počítačového kódu na chyby.
Buzzard vedl víceletý program, jehož cílem bylo zakódovat celé vysokoškolské učivo matematiky na Imperial do Lean. Experimentoval také se zadáváním pokročilejší matematiky do systému, včetně konceptu perfekoidních prostorů, což pomohlo Scholze získat Fieldsovu medaili v roce 2018.
Commelin, který je také teoretikem čísel, se ujal vedení ve snaze ověřit Scholze a Clausenův důkaz. Commelin a Scholze se rozhodli nazvat svůj projekt Lean Liquid Tensor Experiment, což je pocta progresivní rockové kapele Liquid Tension Experiment, jejíž oba matematici jsou fanoušky.
Následovala febrilní online spolupráce. Připojil se asi tucet matematiků se zkušenostmi s Leanem a výzkumníci si cestou pomohli od počítačových vědců. Začátkem června tým plně přeložil jádro Scholzeho důkazu – část, která ho znepokojovala nejvíce – do Lean. A vše se prověřilo – software byl schopen ověřit tuto část důkazu.
Lepší porozumění
Lean verze Scholzeho důkazu obsahuje desítky tisíc řádků kódu, 100krát delší než původní verze, říká Commelin. "Pokud se jen podíváte na Lean kód, budete mít velmi těžké porozumět důkazu, zejména tak, jak je nyní." Vědci však tvrdí, že snaha získat důkaz pro práci v počítači jim také pomohla lépe porozumět.
LINK AI Copernicus „objevuje“, že Země obíhá kolem Slunce
Riehl patří mezi matematiky, kteří experimentovali s asistenty důkazů a dokonce je vyučuje v některých svých vysokoškolských třídách. Říká, že ačkoli je ve svém výzkumu systematicky nepoužívá, začaly měnit způsob, jakým ona přemýšlí o postupech konstruování matematických pojmů a vyjadřování a dokazování teorémů o nich. "Dříve jsem myslel na dokazování a konstruování jako na dvou různých věcech a teď je považuji za stejné."
Mnoho výzkumníků tvrdí, že je nepravděpodobné, že by matematici byli v dohledné době nahrazeni stroji. Důkazní asistenti neumí číst učebnici matematiky, potřebují neustálý vstup od lidí a nemohou se rozhodnout, zda je matematický výrok zajímavý nebo hluboký – pouze zda je správný, říká Buzzard. Přesto by počítače mohly být brzy schopny poukázat na důsledky známých faktů, kterých si matematici nevšimli, dodává.
Scholze říká, že byl překvapen, jak daleko mohou asistenti důkazů zajít, ale že si není jistý, zda budou i nadále hrát hlavní roli v jeho výzkumu. "Zatím opravdu nechápu, jak by mi pomohli v mé tvůrčí práci jako matematik."
